On suppose que complémentaire concerne une information en rapport avec celles déjà données,  supplémentaire, une information qui manque parmi celles fournies. Mais il me semble que le  complémentaire est plus logique : si vous recevez une lettre d'information sur une manisfestation quelconque et que vous êtes intéressé, l'information que vous demanderez sera de toute façon complémentaire. Dans supplémentaire manque cette notion. L'inverse n'est pas vrai.

Mais on peut imaginer la brochure d'un gite rural qui donne toutes les informations sur le gite lui-même (accès, prix, confort, etc.) mais ne s'étend pas sur la région où il est situé : ces informations seraient plus supplémentaires que complémentaires.

Mais c'est un peu tiré par les cheveux tout ça.

Singulier ou pluriel comme avec n'importe quel et n'importe quels.

En effet, un complément complète un objet préalablement défini, un supplément y ajoute quelque chose.
Dans un puzzle il ne peut y avoir que des pièces complémentaires ; On aurait bien du mal à y placer des pièces supplémentaires.

J'en pense que ceux qui parlent de suppléments seraient a priori plus honnêtes dans leur langage en considération de ce qui est proposé sous ce vocable. Les compléments alimentaires servent à prévenir les carences d'une alimentation déséquilibrée, les suppléments sont pris en plus d'une alimentation suffisante pour l'entretien - c'est par exemple prendre un peu de sucre en plus au petit dejeuner du dimanche matin pour pouvoir assurer le tour du pâté de maison en courant.
Tout dépend du sujet défini au départ. Usain Bolt prend des suppléments qui sont des compléments si on considère Usain Bolt-coureur.