Salut le benjamin !
Question 1 : tout d'abord, on dit boîte à lettres ou boîte aux lettres, car elle est destinée à contenir plusieurs lettres (en général).
Sur la question de aux ou à : s'agit-il d'une boîte pour les lettres (défini) ou des lettres (indéfini) ? Je penche pour la deuxième solution, car je ne sais pas quelles lettres je vais recevoir, donc j'utilise boîte à lettres.
Mais il m'arrivera de dire Tu vas le recevoir dans ta boîte aux lettres, parce que je viens de faire un envoi précis.
Disons tout de même que ces nuances sont plus que légères et non perçues dans le langage quotidien.
Enfin, si tu as un doute irréductible, utilise letterbox, ça va avec tout !
Question 2 : à part manier, qui a le sens précis de utiliser avec la main, tous les autres sont de très proches synonymes qui te permettront de varier ton vocabulaire dans un texte.
À noter touutefois que manier est souvent utilisé hors de son sens originel (étymologique) : par exemple, Tu manies fort bien la langue française .
Question 3 : nécessiter et vouloir sont à classer à part, car ils n'ont pas le sens de demander.
Pour les autres, demander est le terme générique, passe-partout, neutre, dont la connotation sera donnée par le contexte (adverbes notamment : demander incidemment / demander instamment).
Ordonner / exiger sont les plus forts, ils supposent un rapport hiérarchique, viennent ensuite réclamer / revendiquer, qui marquent une demande appuyée, on terminera par requérir / quémander, qui ne marquent pas une exigence mais une supplique, une demande de faveur.
On gardera prier + de + infinitif pour les formules de politesse, mais très usité.
elle est pas belle, la vie ?