Bonjour, Papy;

   1 - pur hasard = le fait du hasard seul, d'un hasard pur, sans aucune autre intervention. Ici, pur agit comme un renforçateur de hasard. C'est une locution figée qui s'utilise comme un substantif, exactement comme hasard : par pur hasard, c'est un pur hasard.

   2 - ... avec le directeur de laquelle ... : cette phrase est parfaitement correcte. Laquelle, dont l'antécédent est agence, est le complément du nom directeur : bien que la tournure paraisse un peu laborieuse, je n'en  vois pas d'autre qui soit correcte.

   3 - torse nu : locution figée utilisée adverbialement, c'est-à-dire apposée et sans article. C'est également pour cette raison qu'elle reste invariable : des enfants torse nu (ss-entendu [avec le] torse nu). Elle est très utilisée sous cette forme. Par contre, et selon l'intention (sur quoi veut-on mettre l'accent), on pourra écrire : le torse nu des lutteurs, les torses nus des enfants au soleil, et même (rare) des enfants aux torses nus (comme on dirait aux bras nus, aux pieds nus).